Médias móveis

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O filtro de médias móveis serve para suavizar séries de tempo e encontrar tendências nos dados. Este filtro é bastante simples e pode ser escalado com facilidade para lidar com múltiplas séries de tempo.
Published

February 20, 2024

Médias móveis

Uma média móvel, como o nome sugere, calcula a média de uma série temporal em janelas móveis. Tipicamente, a média móvel serve como uma estimativa da tendência da série; também é bastante comum usar a média móvel para identificar ciclos ou padrões numa série. Aplicar uma média móvel numa série de tempo \(y_t\) produz uma nova série \(z_t\):

\[ z_t = \sum_{j = -k}^{k}a_{j}y_{t+j} \] No caso mais simples, k = 1, temos:

\[ z_{t} = a_1y_{t-1} + a_2 y_{t} + a_3 y_{t+1} \]

Supondo que os pesos devem ser todos iguais e somar um temos a média móvel simples abaixo:

\[ z_{t} = \frac{1}{3}y_{t-1} +\frac{1}{3} y_{t} + \frac{1}{3} y_{t+1} \]

O exemplo acima, mostra uma média móvel simétrica de ordem 3, onde todos os pesos são iguais. Cada ponto na nova série \(z_t\) é uma média entre os valores vizinhos da série original. Tipicamente, valores próximos uns aos outros no tempo costumam ser similares; na prática, isto torna o filtro de médias móveis bastante suave.

Evidentemente, não é possível calcular este filtro no início e no final da série \(y_t\). Isto implica que a série \(z_t\) tem menos observações do que a série original \(y_t\). Isto, de fato, é um ponto negativo quando se usa filtros de médias móveis.

Médias móveis simétricas sempre tem um número ímpar de termos: no exemplo acima, \(k=1\) resultou num filtro com três termos; se tivéssemos usado \(k=2\) teríamos cinco termos e assim por diante. É possível fazer médias móveis não-simétricas variando a janela temporal. A equação abaixo mostra um filtro que soma as últimas duas observações e tira a média junto com a observação atual e a próxima observação.

\[ z_{t} = \frac{1}{4} y_{t-2} + \frac{1}{4} y_{t-1} + \frac{1}{4} y_{t} + \frac{1}{4} y_{t+1} \]

Não existe forte “contraindicação” sobre o uso de médias móveis não-simétricas. Vale notar, contudo, que é relativamente fácil transformar uma média móvel não-simétrica em uma média móvel simétrica. Vamos tirar uma média móvel sobre a média móvel acima:

\[ \begin{align} x_{t} & = \frac{1}{2}z_{t} + \frac{1}{2}z_{t+1} \\ x_{t} & = \frac{1}{2}(\frac{1}{4}(y_{t-2} + y_{t-1} + y_{t} + y_{t+1}) + \frac{1}{4}(y_{t-1} + y_{t} + y_{t+1} + y_{t+2})) \\ x_{t} & = \frac{1}{8} y_{t-2} + \frac{1}{4} y_{t-1} + \frac{1}{4} y_{t} + \frac{1}{4} y_{t+1} + \frac{1}{8} y_{t+2} \end{align} \]

A série final é uma média móvel simétrica com menor peso nas pontas. Esta é uma média móvel de ordem 2x4. Este tipo de filtro também é conhecido como média móvel ponderada.

Na primeira demonstração acima, definimos que todos \(a_j\) teriam o mesmo valor. Isto não é necessário. Imagine que queremos um filtro que olha somente para o passado e atribui pesos decrescentes à medida que a observação se afasta no tempo. No caso de uma janela com apenas dois períodos teríamos algo da forma:

\[ z_{t} = \frac{1}{2}y_{t} + \frac{1}{3}y_{t-1} + \frac{1}{6}y_{t-2} \]

Note que os pesos somam 1 e vão decaindo no tempo. De forma mais geral,

\[ \text{WMA}_M = \frac{ny_{t} + (n-1)y_{t-1} + \dots + y_{M-n+1}}{\frac{n(n+1)}{2}} \]

Pode-se definir uma média móvel ponderada com pesos que apresentam algum tipo de decaimento. O filtro acima também é conhecido como média móvel linearmente ponderada, pois os pesos decaem linearmente. Outra opção seria usar pesos que apresentam decaimento exponencial como

\[ z_{t} = \alpha y_{t} + \alpha(1-\alpha) y_{t-1} + \alpha(1-\alpha)^2 y_{t-2} \]

Tomando o valor \(\alpha = \frac{1}{2}\) temos que:

\[ z_{t} = \frac{1}{2}y_t + \frac{1}{4}y_{t-1} + \frac{1}{8} y_{t-2} \]

Comparando os termos da expressão acima com a média móvel ponderada anterior, vemos que os termos do passado agora tem menor peso. De maneira mais geral, o filtro de médias móveis exponencial é dado por

\[ z_t = \alpha \sum_{j = 0}^{\infty}(1-\alpha)^j y_{t-j} \]

Exemplo simples

Para montar um exemplo de médias móveis vamos importar uma das rubricas da balança de pagamentos do Brasil. O gráfico abaixo mostra a série anual da rubrica “passe de atletas”1.

library(rbcb)
library(ggplot2)
library(forecast)

theme_series = theme_bw(base_size = 10, base_family = "sans") +
    theme(
      legend.position = "top",
      panel.grid.minor = element_blank(),
      axis.text.x = element_text(angle = 90),
      axis.title.x = element_blank()
      )

atletas = rbcb::get_series(23617, as = "ts")

autoplot(atletas) + theme_series

A tabela abaixo mostra o cálculo de três filtros de médias móveis aplicados na série.

ma3 = stats::filter(atletas, filter = rep(1/3, 3), method = "convolution")
ma5 = stats::filter(atletas, filter = rep(1/5, 5), method = "convolution")
ma11 = stats::filter(atletas, filter = rep(1/11, 11), method = "convolution")

mts = ts.intersect(atletas, ma3, ma5, ma11)

tbl_ma = data.frame(
  ano = as.numeric(time(mts)),
  zoo::coredata(mts)
)
ano atletas ma3 ma5 ma11
1995 18.0 — — —
1996 46.6 49.5 — —
1997 84.0 60.3 51.9 —
1998 50.4 65.0 73.6 —
1999 60.7 79.2 85.0 —
2000 126.4 96.8 80.2 80.4
2001 103.4 96.6 86.5 89.2
2002 60.0 81.8 97.8 106.5
2003 82.1 86.4 99.6 113.9
2004 117.0 111.5 101.9 125.8
2005 135.4 122.4 137.3 138.4
2006 114.9 162.5 154.0 143.8
2007 237.1 172.5 166.9 145.1
2008 165.5 194.8 179.7 162.4
2009 181.7 182.1 193.7 170.2
2010 199.1 188.7 170.0 179.2
2011 185.2 167.5 186.9 183.4
2012 118.3 184.5 184.1 193.9
2013 250.0 178.8 187.6 201.5
2014 168.0 211.4 186.8 210.9
2015 216.3 188.5 209.3 214.3
2016 181.3 209.5 223.2 210.2
2017 230.8 244.0 243.6 208.6
2018 319.8 273.5 244.1 218.9
2019 269.8 269.5 238.6 221.8
2020 218.9 214.2 226.0 —
2021 153.9 180.1 208.4 —
2022 167.6 184.4 210.8 —
2023 231.8 227.1 — —
2024 281.9 — — —

O gráfico abaixo mostra o ajuste de cada um dos filtros.

autoplot(mts) +
  scale_color_manual(
    name = "",
    values = c("#073B4C", "#FFD166", "#0CB0A9", "#F4592A"),
    labels = c("Original", "MA3", "MA5", "MA11")) +
  theme_series

Maior eficiência

Num caso aplicado, seria interessante ter uma maneira simples de escalar o processo acima para múltiplas séries de tempo. Para calcular médias móveis com grande velocidade, vamos usar o pacote RcppRoll, onde cpp significa C++, a linguagem subjacente do pacote. A função roll_mean() aplica uma média móvel sobre uma série.

library(RcppRoll)
roll_mean(atletas, n = 3)
 [1]  49.53  60.33  65.03  79.17  96.83  96.60  81.83  86.37 111.50 122.43
[11] 162.47 172.50 194.77 182.10 188.67 167.53 184.50 178.77 211.43 188.53
[21] 209.47 243.97 273.47 269.50 214.20 180.13 184.43 227.10

Objetos ts foram criados especificamente para armazenar séries de tempo, têm muitas praticidades, e são pré-carregados no R. A vasta maioria dos dados, e análises de dados, segue o paradigma de bases retangulares, de data.frame s por assim dizer. Neste sentido, o ts ou mts acaba sendo pouco prático2 quando se trabalha com múltiplas séries de tempo ou até mesmo com séries de tempo com altas frequências.

No exemplo abaixo vamos importar 9 séries do Índice de Produção Industrial (IPI) e aplicar uma média móvel 2x12 em cada uma delas. O código abaixo mostra como importar as séries e empilhá-las num único tibble. Para manipular os dados vamos utilizar o popular pacote dplyr3.

library(dplyr)

code = 28503:28511
series = get_series(code)
series = lapply(series, setNames, c("date", "value"))
names(series) = code
series = bind_rows(series, .id = "series_id")

ggplot(series, aes(date, value)) +
  geom_line() +
  facet_wrap(vars(series_id)) +
  theme_series

É relativamente simples aplicar o filtro sobre cada uma das séries. O gráfico mostra o resultado final.

series = series |>
  group_by(series_id) |>
  mutate(
    trend = roll_mean(value, n = 12, fill = NA),
    trend = roll_mean(trend, n = 2, fill = NA)
  )

ggplot(series, aes(date)) +
  geom_line(aes(y = value), alpha = 0.8, color = "#126782") +
  geom_line(aes(y = trend), lwd = 0.8, color = "#023047") +
  facet_wrap(vars(series_id)) +
  theme_series

Extraindo tendência

Médias móveis fornecem uma estimativa simples da tendência de uma série. Neste sentido, é comum utilizar o filtro de médias móveis para decompor uma série. O código abaixo usa a base USMacroG para importar algumas séries macroeconômicas trimestrais dos EUA no período 1947-19974. Vamos modelar a tendência das séries usando uma janela de quatro anos (dois anos para trás e dois anos para frente), ou seja, uma média móvel de ordem 25.

Code 
library(AER)
library(tidyr)
data("USMacroG")

macro = tibble(
  date = zoo::as.Date.ts(USMacroG),
  as.data.frame(USMacroG)
)

submacro = macro |>
  filter(date >= as.Date("1947-01-01"), date <= as.Date("1997-01-01")) |>
  mutate(across(gdp:m1, log))

macro_trend = submacro |>
  select(date, gdp, consumption, invest, m1, inflation, unemp) |>
  pivot_longer(col = -date, names_to = "name_series") |>
  group_by(name_series) |>
  mutate(
    trend = roll_mean(value, n = 25, fill = NA),
    detrend = value - trend) |>
  ungroup()

ggplot(macro_trend, aes(date)) +
  geom_line(aes(y = value), alpha = 0.5) +
  geom_line(aes(y = trend), lwd = 0.8) +
  facet_wrap(vars(name_series), scales = "free_y") +
  theme_series

O gráfico das séries livres de tendência é apresentado abaixo. Note que as séries não foram dessazonalisadas, portanto, elas ainda apresentam oscilação sazonal.

ggplot(macro_trend, aes(date, detrend)) +
  geom_line(lwd = 0.8) +
  facet_wrap(vars(name_series), scales = "free_y") +
  theme_series

Filtros complexos

Apesar de simples, o filtro de médias móveis é bastante utilizado e tem boas propriedades estatísticas. O gráfico abaixo compara o ajuste de um filtro de médias móveis com o filtro Baxter-King5, que é bastante mais sofisticado. Como se vê, ambos os filtros chegam em resultados muito similares.

Code 
library(mFilter)

tbl_unemp = select(macro, date, unemp)
bk = mFilter::bkfilter(tbl_unemp$unemp, 6, 32, nfix = 12)

tbl_unemp = tbl_unemp |>
  mutate(
    ma = roll_mean(unemp, n = 25, fill = NA, align = "center"),
    bk = mFilter::bkfilter(unemp, 6, 32, nfix = 12)$trend
  ) |>
  pivot_longer(cols = -date, names_to = "series")

ggplot(tbl_unemp, aes(date, value, color = series)) +
  geom_line(data = filter(tbl_unemp, series == "unemp")) +
  geom_line(data = filter(tbl_unemp, series != "unemp"), lwd = 0.9) +
  scale_color_manual(
    name = "",
    values = c("#FFD166", "#0CB0A9", "#073B4C"),
    labels = c("Baxter-King", "MA25", "Original")
  ) +
  theme_series

Médias móveis exponenciais

O filtro de médias móveis exponenciais ou EWMA (exponentially weighted moving average) é bastante popular em finanças. Na prática, ele é um caso específico de suvização exponencial6. Tecnicamente, seria possível implementá-lo usando stats::filter fornecendo os pesos adequados. O código abaixo replica o primeiro exemplo, da série “passe de atletas”.

ewma_wgt = function(alpha = 0.5, order = 3) { rev((1 - alpha)^(seq(1, order))) }

ewma3 = stats::filter(atletas, filter = c(1/8, 1/4, 1/2), sides = 1L)
ewma5 = stats::filter(atletas, filter = ewma_wgt(order = 5), sides = 1L)
ewma11 = stats::filter(atletas, filter = ewma_wgt(order = 11), sides = 1L)


mts = ts.intersect(atletas, ewma3, ewma5, ewma11)

autoplot(mts) +
  scale_color_manual(
    name = "",
    values = c("#073B4C", "#FFD166", "#0CB0A9", "#F4592A"),
    labels = c("Original", "MA3", "MA5", "MA11")) +
  theme_series

O exemplo acima é um tanto quanto artificial. Tipicamente, o filtro EWMA é utilizado em séries financeiras de alta frequência. O código abaixo usa o pacote TTR (Technical Trading Rules), especializado em funções para finanças, para computar o EWMA de uma série de preço. Para tornar o exemplo mais simples vamos aproveitar a base ttrc do próprio pacote.

Code 
library(TTR)
data(ttrc)

ttrc = ttrc |>
  rename_with(tolower) |>
  dplyr::filter(date >= as.Date("2004-01-01")) |>
  mutate(
    trend07 = EMA(close, n = 7),
    trend30 = EMA(close, n = 30),
    trend50 = EMA(close, n = 50)
    ) |>
  select(date, close, starts_with("trend")) |>
  pivot_longer(cols = -date, names_to = "series")

ggplot(ttrc, aes(x = date, y = value, color = series)) +
  geom_line(data = dplyr::filter(ttrc, series == "close"), alpha = 0.8) +
  geom_line(data = dplyr::filter(ttrc, series != "close"), lwd = 0.5) +
  scale_color_manual(
    name = "",
    values = c("#073B4C", "#FFD166", "#0CB0A9", "#F4592A"),
    labels = c("Original", "EWMA7", "EWMA25", "EWMA50")) +
  theme_series

Footnotes

  1. Nome completo: “Transfer rights on sporting club players - annual - net”.↩︎

  2. Existem, na verdade, uma infinitude de classes de objetos para lidar com séries temporais no R. Para uma referência veja o pacote tsbox que funciona como uma pedra de Rosetta entre esses diferentes tipos de objetos.↩︎

  3. Apesar de muito bom, o dplyr tem um problema chato quando se trabalha com séries de tempo. Há um conflito entre as funções dplyr::filter e stats::filter, que se utiliza para calcular uma média móvel. É muito comum carregar o pacote e esquecer deste detalhe. Para resolver os conflitos basta sempre declarar a função usando o operador “quatro pontos”, ::.↩︎

  4. Para a definição das variáveis, consulte ?USMacroG↩︎

  5. M. Baxter and R.G. King. Measuring business cycles: Approximate bandpass filters. The Review of Economics and Statistics, 81(4):575-93, 1999.↩︎

  6. Para uma boa introdução a suvização exponencial usando o pacote forecast consulte Forecasting: Principles and Practice (2ed).↩︎